Question

已知．

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数解,求实数的取值范围；

（3）当时,求证：

Answer 1

（1）函数在区间（0,1）上为增函数；在区间为减函数；（2）；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）对函数求导，由导数在各区间上的符号可确定函数的单调区间。

（2）由（1）可知，函数有最大值，而有最小值，关于的方程有实数解等价于，由此可求的取值范围。

（3）由（1）可知，，所以即，由此可得

，进一步转化可证。

试题解析：（1）

∴当时,；当时, ；

∴函数在区间（0,1）上为增函数；在区间为减函数 4分

（2）由（1）得的极大值为,令,

所以当时,函数取得最小值,

又因为方程有实数解,那么,即,

所以实数的取值范围是：． 8分

（3）∵函数在区间为减函数,而,

∴,即

即,而,

∴结论成立． 12分．

考点：函数与导数、函数的单调性、利用函数证明不等式。