Question

（本小题满分12分）如图，椭圆的焦点在轴上，左右顶点分别为，上顶点为，抛物线分别以、为焦点，其顶点均为坐标原点，与相交于直线上一点．

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）若动直线与直线垂直，且与椭圆交于不同的两点，已知点，求的最小值．

Answer 1

（1）椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2：;（2）

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（3）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．

试题解析：（1）由题意可得A（a，0），B（0，），

故抛物线C1的方程可设为，C2的方程为

1分

由 得 3分

∴椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2： 5分；

（2）由（1）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为，设直线方程为

由，整理得

设M（）、N（），则 7分

因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以

解得 8分

，

∵，

∴ 10分

∵，所以当时，取得最小值，

其最小值等于 12分

考点：椭圆、抛物线的定义及性质以及直线与椭圆的位置关系．