Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A-BD₁-B₁的大小为（　　）

• A、90°
• B、60°
• C、120°
• D、45°

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角A-BD₁-B₁的大小为120°．

解答： 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
A（1，0，0），B（1，1，0），D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），

BA

=（0，1，0），

BD1

=（-1，-1，1），

BB1

=（0，0，1），
设平面ABD₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

BA • n =y=0 BD1 • n =-x-y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，0，1），
设平面B₁BD₁的法向量

m

=（a，b，c），
则

BB1 • m =c=0 BD1 • m =-a-b+c=0

，取a=1，得

m

=（1，-1，0），
设二面角A-BD₁-B₁的平面角为θ，
cosθ=-|cos＜

m

，

n

＞|=-

1

2

，
∴二面角A-BD₁-B₁的大小为120°．
故选：C．

点评：本题考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．