Question

已知f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

，(m＜0)，直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与f（x）图象的切点为（1，f（x）），则m=（　　）

A．-1

B．-3

C．-4

D．-2

Answer 1

分析：先求出f′（x），求出=f^′（1）即其切线l的斜率和切点，代入点斜式求出切线l方程，利用l与g（x）的图象也相切，连立两个方程，则此方程组只有一解，再转化为一个方程一解，等价于判别式△=0，进而求出m的值．

解答：解：由题意得，f′(x)=

1

x

，g^′（x）=x+m，
∴与f（x）图象的切点为（1，f（1））的切线l的斜率k=f^′（1）=1，
且f（1）=ln1=0，所以切点为（1，0），
∴直线l的方程为：y=x-1，
∵直线l与g（x）的图象也相切，
∴

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

此方程组只有一解，
即

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0只有一解，
∴△=(m-1)2-4×

1

2

×

9

2

=0，解得m=-2或m=4（舍去）．
故选D．

点评：本小题主要考查直线的斜率与导数的几何意义的关系、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，易错点直线l与两个函数图象相切时切点不同．