Question

19．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=BC=4，DF=2$\sqrt{2}$．
（1）求证：PA⊥平面ABC；
（2）求三棱锥D-BEF与三棱锥P-ABC的体积的比值．

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理可得DE=EF=2，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EF，从而PA⊥EF，结合PA⊥AC得出PA⊥平面ABC；
（2）根据中点的性质得出△BEF和△ABC的面积比，DE与PA的比值，带入棱锥的体积公式得出体积比．

解答 证明：（1）∵D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，
∴DE∥PA，$DE=\frac{1}{2}PA=2$，$EF=\frac{1}{2}BC=2$，
∴DE²+EF²=DF²，∴DE⊥EF，
∴PA⊥EF，
又PA⊥AC，AC?平面ABC，EF?平面ABC，AC∩EF=E，
∴PA⊥平面ABC．
（2）∵D，E，F是PC，AC，AB的中点，
∴S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_△ABC，DE=$\frac{1}{2}PA$．
∴V_D-BEF=$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•DE$，
V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA$=$\frac{1}{3}•4{S}_{△BEF}•2DE$=$\frac{8}{3}$S_△BEF•DE．
∴$\frac{{V}_{D-BEF}}{{V}_{P-ABC}}=\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．