Question

【题目】已知等比数列{an}、等差数列{bn}，满足a1＞0，b1=a1﹣1，b2=a2 ， b3=a3且数列{an}唯一．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和．

Answer 1

【答案】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵b1=a1﹣1，b2=a2 ， b3=a3 ， 且{bn}为等差数列，
∴2a2=（a1﹣1）+a3 ，
即2a1q=（a1﹣1）+a1q2 ，
即（q﹣1）2=，
∵数列{an}唯一，
∴q在{q|q≠0}上只有一个解，
∴（q﹣1）2=中有一个解为q=0，
故=1，此时，a1=1，q=2；
故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
数列{bn}是以0为首项，2为公差的等差数列；
故an=2n﹣1 ， bn=2n﹣2；
（2）anbn=（2n﹣2）2n﹣1 ，
Sn=01+22+4×4+6×8+…+（2n﹣2）2n﹣1 ，
2Sn=02+24+4×8+6×16+…+（2n﹣2）2n ，
两式作差可得，
Sn=﹣2×2+（﹣2）×4+（﹣2）×8+…+（﹣2）×2n﹣1+（2n﹣2）2n
=（2n﹣2）2n﹣（22+23+24+…+2n）
=（n﹣1）2n+1﹣
=（n﹣2）2n+1+4．
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，从而可得（q﹣1）2= ， 从而结合数列{an}唯一可得a1=1，q=2；从而解得．
（2）化简anbn=（2n﹣2）2n﹣1 ， 结合通项公式的形式可知利用错位相减法求其前n项和。
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．