Question

设向量，定义一种向量积．

已知向量，，点为的图象上的动点，点 为的图象上的动点，且满足（其中为坐标原点）．

（1）请用表示；

（2）求的表达式并求它的周期；

（3）把函数图象上各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.设函数，试讨论函数在区间内的零点个数.

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）当或时，函数在区间内只有一个零点；当时，函数在区间内有两个零点；当或时，函数在区间内没有零点.

【解析】

试题分析：解题思路：（1)利用定义的运算用表示即可；（2）根据图像变换得到的解析式，(3)得出的单调区间，讨论零点个数即可.规律总结：（1）对于新定义题目，要真正理解定义，想法与所学知识联系，是解决新定义题目的关键；（2）讨论零点个数，即讨论图像与轴的交点个数..

试题解析：（1），

（2），

，即，

 

所以，它的周期为.

(3)在上单调递增，在上单调递减，

又，

当或时，函数在区间内只有一个零点；当时，函数在区间内有两个零点；当或时，函数在区间内没有零点.

考点：新定义型题、三角函数的图像与性质、函数的零点.