Question

【题目】数学研究性学习是高中学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动．某同学就在一次数学研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．

①；

②；

③；

④；

⑤．

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，归纳出一个三角恒等式；

（3）利用所学知识证明这个结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

(1）选择（2）求常数相对容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函数平方关系结合特殊角三角函数值求得答案．

（2）根据（1）的计算结果，可得三角恒等式为：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）.

（3）根据两角差的余弦公式，展开化简后可得答案．

（1）由②得sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°＝1sin 30°＝1

（2）三角恒为等式：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α），；

（3）证明如下：

sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）

＝sin2α+（cos 30°cos α+sin 30°sin α）2﹣sin α（cos 30°cos α+sin 30°sin α）

＝sin2αcos2αsin αcos αsin2αsin αcos αsin2α

sin2αcos2α.