Question

【题目】己知椭圆C：的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆C交于A，B两点为坐标原点．

若直线l过点，且十，求直线l的方程；

若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足，求点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】(1) 或；（2）()．

【解析】

（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根据弦长公式|AB|=，代入整理得，解得．得到直线l的方程．

（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.结合韦达定理及条件，整理得3m2=8k2+8．从而有 |OP|2=（定值），得到点P的轨迹是圆，且去掉圆与x轴的交点.写出点P的轨迹方程即可.

（1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8，则|AB|=．

因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2).

设A(x1，y1)，B(x2，y2).

联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．

∴ x1+x2=，x1x2=． 由弦长公式|AB|=，

代入整理得，解得．所以直线l的方程为，

即或．

（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.

∴ x1+x2=，x1x2=． 以AB为直径的圆过原点O，即．

∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 将x1+x2=，x1x2=代入，

整理得3m2=8k2+8． ∵ 点P是线段AB上的点，满足，

设点O到直线AB的距离为d，∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2=（定值），

∴ 点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点.

故点P的轨迹方程为()．