Question

【题目】已知椭圆E：的离心率是，，分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，的面积为直线l过点且与椭圆E交于P，Q两点．

求椭圆E的标准方程；

求面积的最大值；

设直线与直线交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见证明

【解析】

根据离心率和三角形的面积即可求出，，

分两种情况，当PQ斜率不存在时，，当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、，函数的性质，结合已知条件能求出的面积的最大值．

分两种情况，PQ斜率不存在时，易知，当直线PQ的斜率存在时，直线的方程为，直线的方程为，即可整理化简可得，解得即可．

解：由题意知，

，即，

的面积为2，

，

解得，，

椭圆C的标准方程为，

斜率不存在时，易知，，此时，

当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，，

设，，

将代入，整理可得，

，，

，

，

令，，

，

故面积的最大值

证明斜率不存在时，易知，

当直线PQ的斜率存在时，直线的方程为，直线的方程为，

，

，

解得，即N点的横坐标为4，

综上所述，点N在定直线上．