Question

2．已知函数f（x）=asinx•cosx-$\sqrt{3}a{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a+b（a＞0）
（Ⅰ）写出函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）设$x∈[0，\frac{π}{2}]$，f（x）的最小值是-2，最大值是$\sqrt{3}$，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式推导出f（x）=$asin（2x-\frac{π}{3}）+b$，由此能求出函数f（x）的对称轴方程．
（Ⅱ）由$0≤x≤\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，得到$f{（x）_{min}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}a+b=-2，f{（x）_{max}}=a+b=\sqrt{3}$，由此能求出实数a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=asinx•cosx-\sqrt{3}a{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}a+b$
=$\frac{a}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}a}}{2}（1+cos2x）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}a+b=\frac{a}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}a}}{2}cos2x+b$
=$asin（2x-\frac{π}{3}）+b$，
令$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$，则 $x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
故函数f（x）的对称轴方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}，k∈Z$．
（Ⅱ）∵$0≤x≤\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，
∴$f{（x）_{min}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}a+b=-2，f{（x）_{max}}=a+b=\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}a+b=-2\\ a+b=\sqrt{3}\end{array}\right.，解得\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-2+\sqrt{3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查三角函数的对称轴的求法，考查实数值的求法，考查二倍角公式、三角形图象及性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．