Question

已知函数f（x）=x²-2x+log_a在（1，）内恒小于零，则实数a的取值范围是

1. A.
   ≤a＜1
2. B.
   0＜a
3. C.
   0
4. D.
   a≥

Answer 1

A
分析：求出函数f（x）的定义域，f（x）在（1，）内恒小于零等价于f（x）_max＜0，求出导数f′（x），分0＜a＜1，a＞1两种情况利用导数求出f（x）的最大值即可．
解答：f（x）=x²-2x+，
因为a＞0，且＞0，所以定义域：{x|x＞1}．
f'（x）=2x-2-，
①当0＜a＜1时，＜0，所以在x∈（1，）时f'（x）＞0，函数f（x）在（1，）上是增函数，
要满足题意，须f（）≤0，即：-3+loga（2a）≤0，即：loga2≤-，
解得：a，又0＜a＜1，所以．
②当a＞1时，由f'（x）=0得：x=1+，
当x＜1+时，f'（x）＜0，当x＞1+时，f'（x）＞0，
由此得函数f（x）在x＜1+时是减函数，在x＞1++时是增函数，
而f（）=-3+loga（2a）=loga2+＞0，
所以a＞1时，不能保证在（1，）内f（x）恒小于0，
故a＞1不合题意，舍去．
综上，所求实数a的取值范围为．
故选A．
点评：本题考查应用导数求函数的最值，考查不等式恒成立，考查分类讨论思想，解决本题的关键是利用导数求出函数的最大值．