Question

设函数f(x)=2cos2ωx+sin(2ωx-

π

6

)+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在区间[

π

6

，

π

3

]上的最小值为

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用辅助角公式把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，由五点作图法可知，当函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象位于最高点时，ωx+φ=

π

2

，因为此时x=

π

6

，代入函数解析式，就可求出ω的值．
（2）先根据x的范围求出2x+

π

6

的范围，借助基本正弦函数的单调性，就可带着参数a求出函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+1+a的最小值，再与所给函数的最小值比较，就可求出a的值．

解答：解：（1）由题意f(x)=1+cos2ωx+sin(2ωx-

π

6

)+a
=1+cos2ωx+（sin2ωxcos

π

6

-cos2ωxsin

π

6

）+a
=1+cos2ωx+

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+a
=1+

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+a
=1+sin

π

6

cos2ωx+cos

π

6

sin2ωx+a
=sin(2ωx+

π

6

)+1+a
∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
∴当x=

π

6

时，ωx+φ=

π

2

，
即2ω×

π

6

+

π

6

=

π

2

，
∴ω=1．
（2）由（1）知，f(x)=sin(2x+

π

6

)+1+a，
∵

π

6

≤x≤

π

3

∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴当2x+

π

6

=

5π

6

时，f(x)min=

1

2

+1+a=

3

2

+a
又∵f（x）在区间[

π

6

，

π

3

]上的最小值为

3

∴

3

2

+a=

3

解之得a=

3

-

3

2

，
∴a的值为

3

-

3

2

点评：本题主要考查根据三角函数的性质求解析式和最值，关键是先把所给函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再借助基本正弦函数的性质解决．