Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），焦点到渐近线的距离为

2

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点M（0，2）的直线l交双曲线C于E、F两点，若△EOF的面积为2

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式及a，b，c的关系即可得出；
（2）设直线l的方程为y=kx+2，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．与双曲线的方程联立即可得到根与系数的关系，利用弦长公式和三角形的面积公式即可得出．

解答：解：（1）∵焦点F₂（2，0）到渐近线y=

b

a

x的距离为

2

，
∴

2b

a2+b2

=

2

，
∵c=2，∴b=

2

，
∴a²=c²-b²=2，
∴双曲线C的方程为

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+2，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
联立

y=kx+2 x2-y2=2

，化为（1-k²）x²-4kx-6=0，
由于k²≠1，∴x1+x2=

4k

1-k2

，x1x2=

-6

1-k2

，
S△OEF=

1

2

|OM|•|x1-x2|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

，
∴

( 4k 1-k2 )2- 4×(-6) 1-k2

=2

2

，
化为k⁴-k²-2=0．
解之得k²=2，即k=±

2

，经检验符合题意．
故所求直线方程为y=

2

x+2或y=-

2

x+2．

点评：熟练掌握直线与双曲线的相交问题转化为双曲线的方程联立即可得到根与系数的关系、利用弦长公式和三角形的面积公式等是解题的关键．