Question

3．已知O为坐标原点，A（1，2），点P的坐标（x，y）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$，则z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值为2．

Answer 1

分析 去绝对值号，便可将不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$变成$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{y＜0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，这样即可画出点P所在的平面区域，然后可求出z=x+2y，进而得到$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，该方程表示平行于$y=-\frac{1}{2}x$的一族平行直线，并且在y轴上的截距为$\frac{z}{2}$，从而得出截距最大时，z最大，这样结合图形即可找出直线过哪点时，截距最大，从而求出z的最大值．

解答 解：由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{y＜0}\\{x≥0}\end{array}\right.$；
∴点P所在平面区域如下图阴影部分所示：
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=x+2y$；
∴z=x+2y；
∴$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，表示平行于$y=-\frac{1}{2}x$的一族平行直线，在y轴上的截距为$\frac{z}{2}$；
∴截距$\frac{z}{2}$最大时，z最大；
由图看出，直线过点A₁（0，1）时，z最大，最大值为2．
故答案为：2．

点评 含绝对值不等式的处理方法：去绝对值号，能画出二元一次不等式组所表示的平面区域，能求直线在y轴上的截距，以及线性规划的知识．