Question

设

a

，

b

是两个非零向量，下列说法正确的是（　　）

• A．若|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |-|

  b

  |，则

  a

  ⊥

  b

• B．若

  a

  ⊥

  b

  ，则|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |-|

  b

  |
• C．若|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |-|

  b

  |，则存在实数λ，使得

  a

  =λ

  b

• D．若存在实数λ，使得

  a

  =λ

  b

  ，则|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  |-|

  b

  |

Answer 1

分析：根据选择项知需要判断命题的真假，由数量积运算将|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|两边平方后化简说明C正确、A错、B错，再对

a

=λ

b

两边取模后，代入|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|进行验证D错．

解答：解：设非零向量

a

，

b

的夹角是θ，
①将|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|两边平方得，

a

2+

b

2+2

a

•

b

=|

a

|2+|

b

|2-2|

a

||

b

|，
即2

a

•

b

=-2|

a

||

b

|，得cosθ=-1，
则

a

，

b

是共线向量，即存在实数λ，

a

=λ

b

，则C正确，A错；
另：当

a

⊥

b

时，有

a

•

b

=0，代入2

a

•

b

=-2|

a

||

b

|，显然不成立，故B错；
②存在实数λ，

a

=λ

b

时，
则|

a

+

b

|=|1+λ||

b

|，|

a

|-|

b

|=(|λ|-1)|

b

|，
故|

a

+

b

|=|

a

|-|

b

|不一定成立，故D错．
故选C．

点评：本题考查了向量的平方就是向量模的平方应用，以及数量积的运算，考查了分析问题和解决问题的能力．