Question

6．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）解不等式f（x）＜$\frac{1}{4}$；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接根据函数是奇函数，满足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到关于a，b的两个等式，解方程组求出a，b的值．
（2）不等式f（x）＜$\frac{1}{4}$，即不等式$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$＜$\frac{1}{4}$，即可解不等式f（x）＜$\frac{1}{4}$；
（3）f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，即可求f（x）的值域．

解答 解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0⇒-1+b=0，解得b=1，
又由f（1）=-f（-1）⇒$\frac{-2+1}{4+a}=-\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+a}$，解得a=2．
（2）不等式f（x）＜$\frac{1}{4}$，即不等式$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$＜$\frac{1}{4}$，
化简可得2^x＞$\frac{1}{3}$，∴x＞$-lo{{g}_{2}}^{3}$，
∴不等式的解集为{x|x＞$-lo{{g}_{2}}^{3}$}；
（3）f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x+1＞1，
∴-$\frac{1}{2}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了奇函数的性质，函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．