Question

16．用定积分的几何意义求下列各式的值．
（1）${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx；
（2）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$sinxdx．

Answer 1

分析 由定积分的几何意义可得
（1）${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示圆x²+y²=4的圆x²+y²=4的在[-1，1]上圆的面积；
（2）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$sinxdx表示正弦曲线和x轴在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]面积的代数和，由奇函数图象的对称性可得．

解答 解：（1）由y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$可得x²+y²=4，
∴${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示圆x²+y²=4的在[-1，1]上圆的面积
故${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=4π-（$\frac{2×4π}{3}$-2×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$）=$\frac{4π}{3}$+$\sqrt{3}$；
（2）同理由定积分的意义可知${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$sinxdx表示
正弦曲线和x轴在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]面积的代数和，
由奇函数图象的对称性可得${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$sinxdx=0

点评 本题考查定积分的几何意义，属基础题．