Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）．
（1）若x∈[2，6]时，f（x）_max=f（2）=2，f（x）_min=f（6）=-2且f（x）在[2，6]上单调减，求ω，φ的值；
（2）若φ=0，f（x）=0在[-π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围；
（3）若φ=0，f（x）在[

π

6

，

π

4

]上单调递增，求ω的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意求得周期，由周期公式求得ω，把（2，2）代入函数解析式结合φ的范围求φ的值；
（2）φ=0时，f（x）=2sinωx，f（x）为奇函数，把f（x）=0在[-π，π]上恰有19个根转化为f（x）=0在（0，π]上恰有9个根，得到

9

2

T≤π＜5T，结合周期公式求得ω的取值范围；
（3）当φ=0时，f（x）在[

π

6

，

π

4

]上单调递增，求出ω的初步范围，结合-

π

2

+2kπ≤

π

6

ω，

π

4

ω≤

π

2

+2kπ，k∈Z进一步求得ω的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，T=2（6-2）=8=

2π

ω

，∴ω=

π

4

．
f（x）=2sin（

π

4

x+φ），把（2，2）代入得2=2sin(

π

2

+φ)，
∴cosφ=1．
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=0；
（2）φ=0时，f（x）=2sinωx，
∵f（x）为奇函数，要使f（x）=0在[-π，π]上恰有19个根，只需f（x）=0在（0，π]上恰有9个根，
∴

9

2

T≤π＜5T，即

9

2

•

2π

ω

≤π＜5•

2π

ω

，
∴9≤ω＜10；
（3）由于

π

4

-

π

6

≤

T

2

，
∴0＜ω≤12，
又-

π

2

+2kπ≤

π

6

ω，

π

4

ω≤

π

2

+2kπ，k∈Z．
∴12k-3≤ω≤8k+2，k∈Z．
∴ω的取值范围是（0，2]∪[9，10]．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象好性质，考查了与三角函数有关的函数零点问题，考查了三角函数的单调性，考查了数学转化思想方法，是中档题．