Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，分别求出异面直线AE和BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线AE和BF所成角的余弦值；
（2）分别求出平面BDD₁与平面BFC₁的法向量，代入向量夹角公式，我们可以求出平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的余弦值，进而根据同角三角函数关系，可以求出平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的正弦值．

解答：解：以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C₁（2，2，2）
（1）则

AE

=（0，1，2），

BF

=（-1，0，2）
设异面直线AE和BF所成角为θ
则cosθ=|

AE • BF

| AE |•| BF |

|=

4

5

即异面直线AE和BF所成角的余弦值为

4

5

（2）∵

AB

=（2，0，0）为平面BDD₁的一个法向量，
设向量

n

=(x，y，z)为平面BFC₁的一个法向量
则

n • BF =0 n • BC1 =0

，即

-x+2z=0 2y+2z=0

令z=1，则向量

n

=(2，-1，1)为平面BFC₁的一个法向量
∵cos＜

n

，

AB

＞=

n • AB

| n |•| AB |

=

6

3

∴sin＜

n

，

AB

＞=

3

3

∴平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的正弦值为

3

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，将二面角问题及异面直线夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．