Question

在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=θ，AB=6
（1）求△ABC面积的最大值．
（2）若△ABC的周长为6

3

+6，求θ的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将cos∠ACB与c的值代入，利用基本不等式变形求出ab的最大值，最后利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值；
（2）在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，表示出b与a的值，进而表示出三角形周长，整理后即可求出θ的度数．

解答： 解：（1）∵c=6，cos∠ACB=cos60°，
∴由余弦定理得：36=c²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
即ab≤36，
∴S=

1

2

absin60°≤9

3

，
则S的最大值为9

3

；
（2）在△ABC中，利用正弦定理得：

6

sin60°

=

b

sinq

=

a

sin(120°-q)

，
∴b=4

3

sinq，a=4

3

sin（120°-q），
∴三角形周长为6

3

+6=a+b+c=4

3

sinq+4

3

sin（120°-q）+6，
整理得：sinq+sin（120°-q）=

3

2

，即sin（q+30°）=

3

2

，
∴q+30°=60°或q+30°=120°，
则θ=q=30°或90°．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．