Question

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S₃=a₇，a₈-2a₃=3．
（1）求a_n；
（2）设b_n=

1

Sn

，数列{b_n}的前n项和记为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意联立方程组解得首项及公差即得；
（2）利用裂项相消法求和即可得出结论．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由题得

3a1+3d=a1+6d (a1+7d)-2(a1+2d)=3

，（3分）
解得a₁=3，d=2，（5分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1；                      （6分）
（2）由（1）得，S_n=na₁+

n(n-1)

2

•d=n（n+2），（8分）
∴b_n=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），（10分）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

+

2n+3

2(n+1)(n+2)

．（12分）

点评：本题考查等差数列的性质、数列的基本运算及利用裂项相消法求数列和的知识，考查学生的运算能力及方程思想的运用能力，属中档题．