Question

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，已知f（x）的导函数f（x）′的图象如图所示，若两个正数a、b满足f（2a+b）＜1，则

a+2b+3

a+1

的取值范围是（　　）

• A、（

  7

  5

  ，

  5

  3

  ）
• B、（-∞，

  1

  3

  ）∪（5，+∞）
• C、（

  5

  3

  ，11）
• D、（-∞，3）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：数形结合法

分析：由已知导函数的图象，判断出函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，结合已知条件，得出a，b满足的条件，画出可行域，而

a+2b+3

a+1

变形后，表示的是斜率．

解答： 解：由f（x）′的图象知，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
又∵f（2a+b）＜1且f（4）=1⇒2a+b＜4，
∴a，b 满足

2a+b＜4 a＞0 b＞0

画出可行域△0AB内部，如图所示：

a+2b+3

a+1

=1+2×

b+1

a+1

，∵

b+1

a+1

表示可行域△OAB内部的点与点P（-1，-1）的斜率，
∴KPA＜

b+1

a+1

＜KPB，又KPA=

0+1

2+1

=

1

3

，KPB=

4+1

0+1

=5，
∴

5

3

＜1+2×

b+1

a+1

＜11．
故选：C．

点评：本题考查的了，函数的单调性，线性规划，数形结合．属于常规题，中等难度．