Question

已知椭圆C₁的离心率为e=

6

3

，过C₁的左焦点F₁的直线l：x-y+2=0被圆C₂：（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0）截得的弦长为2

2

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设C₁的右焦点为F₂，在圆C₂上是否存在点P，满足|PF₁|=

a2

b2

|PF₂|，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：综合题,探究型,存在型

分析：对第（1）问，由a²=b²+c²，e=

6

3

及F₁的坐标满足直线l的方程，联立此三个方程，即得a²，b²，从而得椭圆方程；
对第（2）问，根据弦长，利用垂径定理与勾股定理得方程，可求得圆的半径r，从而确定圆的方程，再由条件|PF₁|=

a2

b2

|PF₂|，将点P满足的关系式列出，通过此关系式与已知圆C₂的方程联系，再探求点P的存在性．

解答： 解：在直线l的方程x-y+2=0中，令y=0，得x=-2，即得F₁（-2，0），
∴c=2，又∵离心率e=

c

a

=

6

3

，
∴a²=6，b²=a²-c²=2，
∴椭圆C₁的方程为C1：

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）∵圆心C₂（3，3）到直线l：x-y+2=0的距离为d=

|3-3+2|

2

=

2

，
又直线l被圆C₂截得的弦长为2

2

，
∴由垂径定理得r=

d2+( l 2 )2

=

2+2

=2，
故圆C₂的方程为C2：(x-3)2+(y-3)2=4．
设圆C₂上存在点P（x，y），满足|PF1|=

a2

b2

|PF2|，即|PF₁|=3|PF₂|．
∵F₁（-2，0），F₂（2，0），
则

(x+2)2+y2

=3

(x-2)2+y2

，整理得(x-

5

2

)2+y2=

9

4

，
此方程表示圆心在点C(

5

2

，0)，半径是

3

2

的圆，
∴|CC₂|=

(3- 5 2 )2+(3-0)2

=

37

2

，
故有2-

3

2

＜|CC2|＜2+

3

2

，即两圆相交，有两个公共点．
∴圆C₂上存在两个不同点P，满足|PF₁|=

a2

b2

|PF2|．

点评：1．求椭圆的方程，关键是确定a²，b²，常用到关系式e=

c

a

及a²=b²+c²，再找一个关系式，一般可解出a，b．
2．本题采用交集思想巧妙地处理了点P的存在性．本解法是用圆特有的方式判断两圆的公共点个数，若联立两曲线的方程，消去 x或y，用判别式来判断也可以，其适用范围更广，但计算量相对大一些．