Question

【题目】已知椭圆过点，且离心率为．

（）求椭圆的方程．

（）已知双曲线的离心率是椭圆的离心率的倒数，其顶点为椭圆的焦点，求双曲线的方程．

（）设直线与双曲线交于， 两点，过的直线与线段有公共点，求直线的倾斜角的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（）利用点在椭圆上、离心率进行求解；（）先利用双曲线和椭圆的关系求出有关几何量，再写出双曲线的方程即可；（）先联立直线和双曲线的方程求出点， 的坐标，再利用斜率公式求边界直线的斜率，进而确定直线的斜率和倾斜角的取值范围.

试题解析：（）由题意可得， ，

解得， ，

故椭圆方程为．

（）由题意可得双曲线离心率，

，则， ，

故双曲线方程为．

（）联立，得，

解得或，则， ．

则，则，

即直线的倾斜角的取值范围为.