Question

5．已知数列{a_n}的各项均为正数，且a₁=2，a_n=a${\;}_{n+1}^{2}$+4a_n+1+2
（1）令b_n=log₂（a_n+2），证明：数列{b_n}是等比数列
（2）设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=a${\;}_{n+1}^{2}$+4a_n+1+2，变形a_n+2=$（{a}_{n+1}+2）^{2}$，又数列{a_n}的各项均为正数，两边取对数可得log₂（a_n+2）=2log₂（a_n+1+2），得到${b}_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_{n}$，即可证明；
（2）由（1）可得：${b}_{n}=2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，可得c_n=nb_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n=a${\;}_{n+1}^{2}$+4a_n+1+2，
∴a_n+2=$（{a}_{n+1}+2）^{2}$，
又数列{a_n}的各项均为正数，
∴log₂（a_n+2）=2log₂（a_n+1+2），
∵b_n=log₂（a_n+2），b_n+1=log₂（a_n+1+2），
∴${b}_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_{n}$，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为log₂（2+2）=2，公比为$\frac{1}{2}$．
（2）解：由（1）可得：${b}_{n}=2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴c_n=nb_n=$\frac{n}{{2}^{n-2}}$，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=$2+2+\frac{3}{2}+\frac{4}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-2}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+1+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-2}}+\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=2+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=$4-\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=$8-\frac{2+n}{{2}^{n-2}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．