Question

已知函数f(x)＝3^x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3^tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）log₃(1＋)
（2）f(x)＝3^x－在(0，＋∞)上单调递增
（3）[－4，＋∞)

解：(1)当x≤0时，f(x)＝3^x－3^x＝0，
∴f(x)＝2无解．
当x>0时，f(x)＝3^x－，令3^x－＝2.
∴(3^x)²－2·3^x－1＝0，解得3^x＝1±.
∵3^x>0，∴3^x＝1＋.
∴x＝log₃(1＋)．
(2)∵y＝3^x在(0，＋∞)上单调递增，
y＝在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)＝3^x－在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t∈，∴f(t)＝3^t－>0.
∴3^tf(2t)＋mf(t)≥0化为
3^t＋m≥0，
即3^t＋m≥0，即m≥－3^2t－1.
令g(t)＝－3^2t－1，则g(t)在上递减，∴g(x)_max＝－4.
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．