Question

【题目】如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明：

(1)∠BFM＝∠PEF；

(2)PF2＝PD·PC.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】试题分析：（1）如图所示，连接OE．利用切线的性质可得：OE⊥PE，于是∠PEF+∠OEF=90°．由已知AB⊥CD，可得∠OBF+∠BFM=90°．由同圆的半径相等可得∠OBF=∠OEB．即可得出结论．

（2）利用（1）可得∠PEF=∠PFE．于是PE=PF．利用“切割线定理”可得PE2=PDPC．即可．

试题解析：

证明：(1)连接OE.

∵PE切⊙O于点E，

∴OE⊥PE.

∴∠PEF＋∠FEO＝90°.

又∵AB⊥CD，

∴∠B＋∠BFM＝90°.

又∵∠B＝∠FEO，

∴∠BFM＝∠PEF.

(2)∵∠EFP＝∠BFM，

∴∠EFP＝∠PEF.

∴PE＝PF.

又∵PE2＝PD·PC，

∴PF2＝PD·PC.