Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁

∥

.

BB₁，AB=AC=AA1=

2

2

BC，B1C1

∥

.

1

2

BC．
（1）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）求证：AB₁∥平面A₁C₁C；
（3）求二面角C₁-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明A₁B₁⊥平面AA₁C，只需证明AB⊥平面AA₁C，A₁B₁∥AB；
（2）取BC的中点D，连接AD，DC₁，则四边形B₁DCC₁和BDC₁B₁为平行四边形，从而可证平面AB₁D∥平面A₁C₁C，即可得到AB₁∥平面A₁C₁C；
（3）由（1）知，AA₁，AB，AC两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，设BC=2，用坐标表示点与向量，求出平面A₁C₁C的法向量

m

=(1，-1，1)，平面A₁AC的法向量为

n

=(1，0，0)，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵AB=AC=

2

2

BC，∴AB⊥AC
∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥AB
∵AA₁∩AC=A
∴AB⊥平面AA₁C
∵AA₁平行且BB₁，
∴四边形ABB₁A₁为平行四边形
∴A₁B₁∥AB
∴A₁B₁⊥平面AA₁C；
（2）证明：取BC的中点D，连接AD，DC₁，则CD平行且等于B₁C₁，BD平行且等于B₁C₁，
∴四边形B₁DCC₁和BDC₁B₁为平行四边形
∴B₁D平行且等于CC₁，∴C₁D平行且等于B₁B
由（1）B₁B平行且等于AA₁，∴C₁D平行且等于A₁A
∴四边形AA₁C₁D为平行四边形
∴AD∥A₁C₁
∵B₁D∩AD=D，B₁D，AD?平面AB₁D
∴平面AB₁D∥平面A₁C₁C
∵AB₁?平面AB₁D
∴AB₁∥平面A₁C₁C；
（3）解：由（1）知，AA₁，AB，AC两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，设BC=2，则A₁（0，0，

2

），C（0，-

2

，0)，C₁（-

2

2

，-

2

2

，

2

）
∴

A1C

=(0，-

2

，-

2

)，

A1C1

=（-

2

2

，-

2

2

，0）
设平面A₁C₁C的法向量为

m

=(x，y，z)，则

m • A1C1 =0 m • A1C =0

，∴

- 2 x 2 - 2 y 2 =0 - 2 y- 2 z=0

，∴

m

=(1，-1，1)
∵平面A₁AC的法向量为

n

=(1，0，0)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

3

3

∵二面角C₁-A₁C-A的为钝二面角，∴二面角C₁-A₁C-A的余弦值为-

3

3

点评：本题考查线面垂直，线面平行，面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．