【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线的斜率;
(Ⅱ)判断方程(
为
的导数)在区间
内的根的个数,说明理由;
(Ⅲ)若函数在区间
内有且只有一个极值点,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导.根据导数的几何意义可得.
(Ⅱ)设,
.
由的单调性及因为
,
,可知有且只有一个
,使
成立.即方程
在区间
内有且只有一个实数根.
(Ⅲ)若函数在区间
内有且只有一个极值点,由于
,即
在区间
内有且只有一个零点
,且
在
两侧异号.
由的单调性可知函数
在
处取得极大值
.
当时,虽然函数
在区间
内有且只有一个零点
,但
在
两侧同号,不满足
在区间
内有且只有一个极值点的要求.
若函数在区间
内有且只有一个零点
,且
在
两侧异号,
则只需满足: .即可得到
的取值范围
试题解析:
(Ⅰ).
.
(Ⅱ)设,
.
当时,
,则函数
为减函数.
又因为,
,
所以有且只有一个,使
成立.
所以函数在区间
内有且只有一个零点,即方程
在区间
内有且只有一个实数根.
(Ⅲ)若函数在区间
内有且只有一个极值点,由于
,即
在区间
内有且只有一个零点
,且
在
两侧异号.
因为当时,函数
为减函数,所以在
上,
,即
成立,函数
为增函数;
在上,
,即
成立,函数
为减函数.
则函数在
处取得极大值
.
当时,虽然函数
在区间
内有且只有一个零点
,但
在
两侧同号,不满足
在区间
内有且只有一个极值点的要求.
由于
,显然
.
若函数在区间
内有且只有一个零点
,且
在
两侧异号,
则只需满足:
.即
,解得
.
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【题目】如图,四棱锥,侧面
是边长为2的正三角形,且平面
平面
,底面
是
的菱形,
为棱
上的动点,且
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)试确定的值,使得二面角
的平面角余弦值为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】年底某购物网站为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度,从
年下半年的会员中随机调查了
个会员,得到会员对售后服务的满意度评分如下:
根据会员满意度评分,将会员的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 | 低于 |
| 不低于 |
满意度等级 | 不满意 | 比较满意 | 非常满意 |
(1)根据这个会员的评分,估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率;
(2)以(1)中的频率作为概率,假设每个会员的评价结果相互独立.
(i)若从下半年的所有会员中随机选取个会员,求恰好一个评分比较满意,另一个评分非常满意的概率;
(ii)若从下半年的所有会员中随机选取个会员,记评分非常满意的会员的个数为
,求
的分布列,数学期望
及方差
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的右顶点与抛物线
的焦点重合,椭圆
的离心率为
,过椭圆
的右焦点
且垂直于
轴的直线截抛物线所得的弦长为.
(1)求椭圆和抛物线
的方程;
(2)过点的直线
与
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,证明:直线
恒过一定点.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程为
(
为参数)
(1)求曲线的直角坐标方程及曲线
的极坐标方程;
(2)当(
)时在曲线
上对应的点为
,若
的面积为
,求
点的极坐标,并判断
是否在曲线
上(其中点
为半圆的圆心)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
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