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过点作已知直线的平行线,交双曲线于点.
(1)证明:点是线段的中点.
(2)分别过点作双曲线的切线,证明:三条直线相交于同一点.
(3)设为直线上一动点,过点作双曲线的切线,切点分别为.证明:点在直线AB上.
证明略
(1)直线的方程为,即,代入双曲线方程,得 .
,则是方程的两根,所以
于是,故点是线段的中点. ………5分
(2)双曲线的过点的切线方程分别为
.
联立,得两式相加,并将代入,得,这说明直线的交点在直线上,即三条直线相交于同一点.                                             …………………………10分
(3)设,则的方程分别为,因为点在两条直线上,所以,这表明点都在直线上,即直线的方程为.
,代入整理得,显然,无论取什么值(即无论为直线上哪一点),点都在直线AB上. …………………………20分
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