Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是x轴上方椭圆E上的一点，且PF₁⊥F₁F₂，|PF1|=

3

2

，|PF2|=

5

2

．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程和P点的坐标；
（Ⅱ）判断以PF₂为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系；
（Ⅲ）若点G是椭圆C：

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞n＞0)上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由P在椭圆E上，知a=2．由PF₁⊥F₁F₂，知|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=(

5

2

)2-(

3

2

)2=4．由此能求出椭圆E的方程和P点的坐标．
（Ⅱ）线段PF₂的中点M(0，

3

4

)，以M(0，

3

4

)为圆心PF₂为直径的圆M的方程为x2+(y-

3

4

)2=

25

16

．以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x²+y²=4，由此可知两圆相内切．
（Ⅲ）以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切．设F'是椭圆C的另一个焦点，其长轴长为2m（m＞0），点G是椭圆C上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，有|GF|+|GF'|=2m，由此能够导出两圆内切．

解答：解：（Ⅰ）∵P在椭圆E上∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，…．（1分）
∵PF₁⊥F₁F₂，∴|F1F2|2=|PF2|2-|PF1|2=(

5

2

)2-(

3

2

)2=4，…．（2分）
2c=2，c=1，∴b²=3．
所以椭圆E的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1…．（4分）
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），∵PF₁⊥F₁F₂∴P(-1，

3

2

)…．（5分）
（Ⅱ）线段PF₂的中点M(0，

3

4

)
∴以M(0，

3

4

)为圆心PF₂为直径的圆M的方程为x2+(y-

3

4

)2=

25

16

圆M的半径r=

5

4

…．（8分）
以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x²+y²=4，圆心为O（0，0），半径为R=2
圆M与圆O的圆心距为|OM|=

3

4

=2-

5

4

=R-r所以两圆相内切  …（10分）
（Ⅲ）以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切           …（11分）
设F'是椭圆C的另一个焦点，其长轴长为2m（m＞0），
∵点G是椭圆C上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，
则有|GF|+|GF'|=2m，则以GF为直径的圆的圆心是M，圆M的半径为r=

1

2

|GF|，
以椭圆C的长轴为直径的圆O的半径R=m，
两圆圆心O、M分别是FF'和FG的中点，
∴两圆心间的距离|OM|=

1

2

|GF′|=m-

1

2

|GF|=R-r，所以两圆内切．…．（14分）

点评：本题考查椭圆E的方程和P点的坐标的求法，判断两圆的位置关系，探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系．解题时要认真审题材，注意挖掘题设中的隐含条件．