Question

20．已知双曲线的一个焦点F（0，5），它的渐近线方程为y=±2x，则该双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{20}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），求出渐近线方程，由题意可得c=5，a=2b，再由a，b，c的关系可得a，b，即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=5，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
由题意可得$\frac{a}{b}$=2，即a=2b，
又a²+b²=c²，
解得a=2$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{20}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{20}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用焦点坐标和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．