Question

18．如图，四棱锥P-ABCD，AD∥BC，AD=2BC=4，AB=2$\sqrt{3}$，∠BAD=90°，M，O分别为CD和AC的中点，PO⊥平面ABCD．
（I）求证：平面PBM⊥平面PAC；
（Ⅱ）是否存在线段PM上一点N，使得ON∥平面PAB，若存在，求$\frac{PN}{PM}$的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）连结MO并延长交AB于E，设AC，BM的交点为F．则OM$\stackrel{∥}{=}$BC，故△BCF≌△MOF，于是CF=$\frac{1}{4}AC$，BF=$\frac{1}{2}$BM，根据勾股定理求出AC，BM的值得出BF，CF，由勾股定理得逆定理得出BF⊥CF，又由PO⊥平面ABCD得PO⊥BF，故BF⊥平面PAC，于是平面PBM⊥平面PAC；
（II）连结PE，则当ON∥平面PAB时，ON∥PE，故当$\frac{MN}{MP}=\frac{MO}{ME}=\frac{2}{3}$时，结论成立．

解答 解：（I）连结MO并延长交AB于E，设AC，BM的交点为F．
∵M，O是CD，AC的中点，∴MO∥AD∥BC，MO=$\frac{1}{2}AD=2$，
∴E是AB的中点，BE=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$．
∴ME=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=3．
∴BM=$\sqrt{B{E}^{2}+M{E}^{2}}=2\sqrt{3}$．
∵MO∥BC，MO=BC，
∴△BCF≌△MOF，
∴BF=$\frac{1}{2}$BM=$\sqrt{3}$，CF=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{4}AC$．
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4，∴CF=1．
∴BF²+CF²=BC²，∴BF⊥CF，即BM⊥AC．
∵PO⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴PO⊥BM，又PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，
∴BM⊥平面PAC，又BM?平面PBM，
∴平面PBM⊥PAC．
（II）当N为PM靠近P点的三等分点时，ON∥平面PAB．
证明：连结PE，由（I）可知MO=2，EM=3，
∴$\frac{MO}{ME}=\frac{MN}{PM}=\frac{2}{3}$，
∴ON∥PE，又ON?平面PAB，PE?平面PAB，
∴ON∥平面PAB．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题．