Question

8．求数列{$\frac{2n-3}{{2}^{n-3}}$}前n项和．

Answer 1

分析 利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：记数列{$\frac{2n-3}{{2}^{n-3}}$}的前n项和为S_n，
则S_n=-$\frac{1}{{2}^{-2}}$+$\frac{1}{{2}^{-1}}$+3•$\frac{1}{{2}^{0}}$+5•$\frac{1}{{2}^{1}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-3}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=-$\frac{1}{{2}^{-1}}$+$\frac{1}{{2}^{0}}$+3•$\frac{1}{{2}^{1}}$+…+[2（n-1）-3]•$\frac{1}{{2}^{n-3}}$+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=-$\frac{1}{{2}^{-2}}$+2（$\frac{1}{{2}^{-1}}$+$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{{2}^{1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$）-（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$
=-$\frac{1}{{2}^{-2}}$+2•$\frac{\frac{1}{{2}^{-1}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$
=-4+8（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$
=4-$\frac{2n+1}{{2}^{n-2}}$，
∴S_n=8-$\frac{2n+1}{{2}^{n-3}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．