Question

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=（c）=0，现给出如下结论：
①f（0）=f（3）；
②f（0）f（1）＜0；
③f（1）f（3）＜0；
④a²+b²+c²=18．
其中正确结论个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论

解答： 解：求导函数可得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f'（x）＞0
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞）单调递减区间为（1，3）
所以f（x）极大值=f（1）=1-6+9-abc=4-abc，
f（x）极小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：
a＜1＜b＜3＜c
及函数有个零点x=b在1～3之间，
所以f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
所以0＜abc＜4
∵f（0）=-abc，
∴f（0）=f（3）
∴f（0）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（1）f（3）＜0，
∵f（a）=f（b）=（c）=0，
∴x³-6x²+9x-abc
=（x-a）（x-b）（x-c）
=x³-（a+b+c）x²+（ab+ac+bc）x-abc，
∴a+b+c=6①，ab+ac+bc=9②，
把②代入①²得：a²+b²+c²=18；
故答案为：①②③④

点评：本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，利用数形结合可以使本题直观．