Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），并设，
（1）若F（x）图象在x=0处的切线方程为x-y=0，求b、c的值；
（2）若函数F（x）是（-∞，+∞）上单调递减，则
①当x≥0时，试判断f（x）与（x+c）²的大小关系，并证明之；
②对满足题设条件的任意b、c，不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立，求M的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为，所以，
又因为F（x）图象在x=0处的切线方程为x-y=0，
所以 ，即，解得 b=1，c=0．
（2）①因为F（x）是（-∞，+∞）上的单调递减函数，所以F′（x）≤0恒成立，
即-x²+（2-b）x+（b-c）≤0对任意的x∈R恒成立，
所以△=（2-b）²+4（b-c）≤0，所以，即c＞b且c≥1，
令g（x）=f（x）-（x+c）²=（b-2c）x-c（c-1），由b-2c＜0，知g（x）是减函数，
故g（x）在[0，+∞）内取得最小值g（0），又g（0）=-c（c-1）≤0，
所以x≥0时，g（x）≤g（0）≤0，即f（x）≤（x+c）²．
②由①知，c≥|b|≥0，当|b|=c时，b=c或b=-c，
因为b²+4-4c≤0，即c²+4-4c≤0，解得c=2，b=2或b=-2，所以f（x）=x²±2x+2，
而f（c）-f（b）=c²+bc+c-b²-b²-c=c²+bc-2b²=（c+2b）（c-b），
所以f（c）-f（b）=-8或0，
不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²等价于f（c）-f（b）≤M（c²-b²），
变为-8≤M•0或0≤M•0恒成立，M∈R，
当|b|≠c时，c＞|b|，即c²-b²＞0，所以不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立等价于恒成立，等价于，
而，
因为c＞|b|，，所以，所以，所以，
所以，所以．
分析：（1）欲求b，c的值，根据所给的切线方程，只须求出切线斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率进而得切线方程，最后与所给的方程比较即得b，c的值；
（2）根据函数F（x）是（-∞，+∞）上单调递减，得到F′（x）≤0恒成立，从而得到c＞b且c≥1，①令g（x）=f（x）-（x+c）²=（b-2c）x-c（c-1），从而得到结果；
②不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立等价于f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，分离参数可得恒成立，转化为求的最大值即可．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极单调性、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算求解能力，体现了转化的数学思想方法．属难题．