Question

（本小题满分14分）已知函数，， 其中，是自然对数的底数．函数，．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列，求证：

（1），其中；

（2）．

Answer 1

（Ⅰ）0（Ⅱ）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（2）证明不等式，利用函数的单调性很常见，一定要注意选取恰当的函数及单调区间（3）不等式具有放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好切入点.

试题解析：（Ⅰ），当时，；当时，；所以，函数在上是减函数，在上是增函数，所以，

综上所述，函数的最小值是0． 4分

（Ⅱ）证明：对求导得，令可得，当时，，此时；当时，，此时．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和． 7分

因为函数在区间上单调递增，又，所以．当时，因为，且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点，又在区间上是单调的，故． 9分

（2）证明：由（Ⅰ）知，，则，因此，当时，

记S=

则S 11分

由（1）知，S

当时，；

当时，S

即，S，证毕． 14分

考点：利用导数求函数最值，利用单调性及放缩法证明不等式.