Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当PD=

2

，AB=2且E为PB的中点时，求四面体P-ADE体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）根据面面垂直的判定定理，只须证明AC⊥平面PBD即可．
（II）VP-ADE=VE-PAD=

1

2

VB-PAD=

1

2

VP-ABD．由此利用等积法能求出四面体P-ADE体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，…．（1分）
∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC，…．（3分）
∴AC⊥平面PDB，….4AC?平面AEC
∴平面AEC⊥平面PDB．…..（6分）
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，…（7分）
∵O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，
∴OE∥平面PAD，…（8分）
∴V_P-ADE=V_E-PDA=V_O-PDA…．（9分）
S△PDA=

1

2

PD•DA=

2

…..（10分）
过O作OF⊥AD于F，则OF⊥平面PAD且OF=

2

2

…（11分）
∴VO-PDA=

1

3

S△PDA•OF=

1

3

•

2

•

2

2

=

1

3

∴四面体P-ADE体积为

1

3

…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．