Question

某旅游景点推出了自动购票机，为了解游客买票情况及所需时间等情况，随机收集了该景点100位游客的相关数据，如图所示：（将频率视为概率）

一次购票	1张	2张	3张	4张	5张以上
游客人数	x	25	30	y	10
所需时间（秒/人）	30	35	40	45	50

已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80%．
（1）求x、y的值；
（2）求顾客一次购票所需时间X的分布列与数学期望．
（3）某游客去购票时，前面恰有2人在买票，求该游客购票前等候时间超过1.5分钟的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由已知30+y+10=55，由此能求出x、y的值．
（2）由已知得X的可能取值为30，35，40，45，50，分别求出相应的概率，由此能求出顾客一次购票所需时间X的分布列与数学期望．
（3）记A为事件“该游客购票前等候时间超过1.5分钟”，则P（A）=P（x₁=45）×P（x₂=50）+P（x₁=50）×P（x₂=45）+P（x₁=50）×P（x₂=50），由此能求出该游客购票前等候时间超过1.5分钟的概率．

解答： 解：（1）∵这100位游客中一次购票超过2张的游客占55%，
∴30+y+10=55，解得y=15，
∴x=100-25-30-15-10=20．
（2）由已知得X的可能取值为30，35，40，45，50，
P（X=30）=

20

100

=

1

5

，
P（X=35）=

25

100

=

1

4

，
P（X=40）=

30

100

=

3

10

，
P（X=45）=

15

100

=

3

20

，
P（X=50）=

10

100

=

1

10

，
∴X的分布列为：

X	30	35	40	45	50
P	1 5	1 4	3 10	3 20	1 10

∴EX=30×

1

5

+35×

1

4

+40×

3

10

+45×

3

20

+50×

1

10

=38.5．
（3）记A为事件“该游客购票前等候时间超过1.5分钟”，
则P（A）=P（x₁=45）×P（x₂=50）+P（x₁=50）×P（x₂=45）+P（x₁=50）×P（x₂=50）
=

3

20

×

1

10

+

1

10

×

3

20

+

1

10

×

1

10

=

1

25

．

点评：本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．