【题目】已知椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点
在椭圆
上,直线
与椭圆
交于
,
两点,与
轴、
轴分别相交于点
和点
,且
,点
是点
关于
轴的对称点,
的延长线交椭圆于点
,过点
、
分别做
轴的垂线,垂足分别为
、
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线,使得点
平分线段
,
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】试题分析: (1)由正三角形的高与边长的关系可求出,再由点
在椭圆上,可求出
的值,从而求出椭圆方程; (2)假设存在,由直线方程可求出
点的坐标,由已知条件可求出
点的坐标,设
联立直线与椭圆的方程,消去
,得到关于
的一元二次方程,由韦达定理可求出
的表达式以及直线
的斜率,联立直线
与椭圆方程,可求出
的表达式,进而求出
的表达式, 由
平分线段
,求出
的值,得出直线方程.
试题解析:(1)由题意知,即
,
,即
,
∵在椭圆上,∴
,
所以椭圆方程为
.
(2)存在
设,∵
∴,
∴
①
∴,
联立 ∴
②
∴
∴
∴
若平分线段
,则
即,
, ∴
∵ 把①,②代入,得
所以直线的方程为
或
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【题目】如图所示,海中一小岛C周围nmile内有暗礁,货轮由西向东航行至A处测得小岛C位于北偏东75°方向上,航行8nmile后,于B处测得小岛C在北偏东60°方向上.
(1)如果这艘货轮不改变航向继续前进,有没有触礁的危险?请说明理由.
(2)如果有触礁的危险,这艘货轮在B处改变航向为南偏东α°(α>0)方向航行,顺利绕过暗礁,求a的最大值.(附:)
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【题目】一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成,球的半径为R,正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R,斜高为0.6R
(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示,焊接处对面积的影响忽略不记);
(2)若R=2cm,为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m2,计算100个这样的盖子约需涂料多少kg(精确到0.1kg)
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣4cosα=0.已知直线l的参数方程为(
为参数),点M的直角坐标为
.
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求.
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【题目】某种出口产品的关税税率为,市场价格
(单位:千元)与市场供应量
(单位:万件)之间近似满足关系式:
,其中
、
均为常数.当关税税率
时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定、
的值;
(2)市场需求量(单位:万件)与市场价格
近似满足关系式:
,当
时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.
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【题目】
如图,在四面体中,
点
分别是棱
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:四边形为矩形;
(Ⅲ)是否存在点,到四面体
六条棱的中点 的距离相等?说明理由.
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【题目】某网站登录密码由四位数字组成,某同学将四个数字0,3,2,5,编排了一个顺序作为密码.由于长时间未登录该网站,他忘记了密码.若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码,则该同学不能顺利登录的概率是多少?
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