Question

18．中心均为原点O的双曲线C₂与椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1有公共的焦点，其中F为右焦点，点A是C₁，C₂在第一象限的公共点，若|OA|=|OF|，则C₂的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 设左焦点为F′，则|OA|=$\frac{1}{2}$|FF′|，AF⊥AF′．求出|AF′|-|AF|=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$，即可求出C₂的离心率．

解答 解：设左焦点为F′，则|OA|=$\frac{1}{2}$|FF′|，∴AF⊥AF′．
∵|AF|+|AF′|=4，|AF|²+|AF′|²=12，
∴2|AF′||AF|=4，
∴|AF′|-|AF|=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$，
∴C₂的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF′|-|AF|=$\sqrt{12-4}$=2$\sqrt{2}$是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．