Question

9．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}（a∈$R），g（x）=lnx，若关于x的方程$\frac{g（x）}{x^2}=f（x）-2e$（e为自然对数的底数）只有一个实数根，则a=${e^2}+\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 把方程化为 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，求得 h（x）=$\frac{lnx}{x}$的最大值为 h（e）=$\frac{1}{e}$，再求得m（x）=x²-2ex+a 的最小值 m（e）=a-e²，根据 a-e²=$\frac{1}{e}$求出a的值．

解答 解：关于x的方程 $\frac{g（x）}{{x}^{2}}$=f（x）-2e，可化为$\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，令h'（x）=0，得x=e，
故 h（x）的最大值为 h（e）=$\frac{1}{e}$，
令m（x）=x²-2ex+a，可得：x=e时，m（x）的最小值 m（e）=a-e² ，
由 a-e²=$\frac{1}{e}$可得 a=e²+$\frac{1}{e}$，
故答案为：${e^2}+\frac{1}{e}$．

点评 本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础题．