Question

17．已知函数f（x）=（x²-a）e^x，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，求证：f（x₁）f（x₂）＜4e^-2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；（2）先求出函数的导数，找到函数的极值点，从而证明出结论．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x²+2x-a），
①当a≤-1时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
②当a＞-1时，令f′（x）=0，解得：${x_1}=-1-\sqrt{a+1}，{x_2}=-1+\sqrt{a+1}$
∴f（x）的递增区间为（-∞，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，x₂）；
（2）f′（x）=e^x（x²+2x-a）．
因为函数f（x）有两个不同的零点，即f′（x）有两个不同的零点，
即方程x²+2x-a=0的判别式△=4+4a＞0，解得：a＞-1，
由x²+2x-a=0，解得x₁=-1-$\sqrt{a+1}$，x₂=-1+$\sqrt{a+1}$，
此时x₁+x₂=-2，x₁•x₂=-a，
随着x变化，f（x）和f′（x）的变化情况如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以x₁是f（x）的极大值点，x₂是f（x）的极小值点，所以f（x₁）是极大值，f（x₂）是极小值，
∴f（x₁）f（x₂）=ex1（x12-a）•ex2（x22-a）
=ex1+x2[x12x22-a（x12+x22）+a2]
=e^-2[a²-a（4+2a）+a²]
=-4ae^-2，
因为a＞-1，所以-4ae^-2＜4e^-2，
所以f（x₁）f（x₂）＜4e^-2．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，考查转化思想，分类讨论思想，熟练掌握基础知识并对其灵活应用是解题的关键，本题是一道难题．