Question

12．已知实数x、y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{2x-y-1≤0}\\{4x+2y+1≤0}\\{{x^2}+{y^2}≤1}\end{array}}\right.$，则3x+y的取值范围为[-$\sqrt{10}$，$-\frac{3}{8}$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{2x-y-1≤0}\\{4x+2y+1≤0}\\{{x^2}+{y^2}≤1}\end{array}}\right.$作出可行域如图，令z=3x+y，
联立$\left\{\begin{array}{l}{4x+2y+1=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{1}{8}$，-$\frac{3}{4}$）此时z取得最大值，z=$-\frac{3}{8}$．
目标函数与圆相切，可得d=$\frac{|-z|}{\sqrt{9+1}}$=1，解得z=$±\sqrt{10}$，
由图象可知，z$≥-\sqrt{10}$，
∴3x+y的取值范围是[-$\sqrt{10}$，$-\frac{3}{8}$]．
故答案为：[-$\sqrt{10}$，$-\frac{3}{8}$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．