Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{cos（A+C）}{sinAcosA}$，且$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$．
（1）求角A；
（2）若a=2，当sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）取得最大值时，求B和b．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可得-2cosB=$\frac{-cosB}{sinAcosA}$，结合cosB≠0，可得sin2A=1，利用正弦函数的图象可得A的值．
（2）由（1）可得B+C=$\frac{3π}{4}$，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），利用B的范围可求$\frac{5π}{12}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，利用正弦函数的性质可求当B=$\frac{π}{3}$时，sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）取得最大值，进而利用正弦定理可求b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵由余弦定理可得：$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{-2accosB}{ac}$=-2cosB，
∴-2cosB=$\frac{cos（A+C）}{sinAcosA}$=$\frac{-cosB}{sinAcosA}$，
∵$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$，可得：cosB≠0，
∴sin2A=1，
∴A=$\frac{π}{4}$，…6分
（2）由（1）可得B+C=$\frac{3π}{4}$，
∵sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）=sinB+cos（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$，可得：$\frac{5π}{12}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴当B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$时，sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）取得最大值，…10分
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{6}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．