Question

17．函数y=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$在[0，$\frac{π}{2}$]的值域是（　　）

• A． [-1，1]
• B． [$\frac{1}{2}$，1]
• C． [-$\frac{1}{2}$，1]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 首先对三角函数式进行化简得y=$sin（2x+\frac{π}{6}）$，再求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范围后求值域．

解答 解：由题意知化简三角函数式：
y=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+$\frac{cos2x+1}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）$
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]
∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1
故选：C

点评 本题主要考查了三角函数倍角公式、和差化简公式，以及三角函数值域求法，属基础题．