Question

8．已知函数f（x）=sin（ωx+Φ）+cos（ωx+Φ）（ω＞0，|Φ|＜$\frac{π}{2}$的最小正周期为π，且对?x∈R，f（x）≤f（0），则（　　）

• A． f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$单调递增
• B． f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$单调递减
• C． f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$单调递增
• D． f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$单调递减

Answer 1

分析 由题意，化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+Φ+$\frac{π}{4}$），利用周期公式可求ω．由f（x）≤f（0）恒成立，结合φ的范围，可求φ，求得其单调递减区间，比较各个选项即可得解．

解答 解：由f（x）=sin（ωx+Φ）+cos（ωx+Φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+Φ+$\frac{π}{4}$），
由最小正周期为π，可得：$\frac{2π}{ω}$=π，解得：ω=2，可得：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+Φ+$\frac{π}{4}$），
因为f（x）≤f（0）恒成立，
所以f（x） _max=f（0），即Φ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），
由|φ|＜$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{4}$，
故f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos2x．
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得：kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，故函数f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
令k=0，函数f（x）的单调递减区间为：[0，$\frac{π}{2}$]，
由于$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$?[0，$\frac{π}{2}$]，
故f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$单调递减．
故选：D．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．