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    19．设F（c，0），A（-a，0）分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，它的右准线为l：x=4，且椭圆C过点（c，$\frac{\sqrt{3}b}{2}$）．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设P，Q是右准线l上的两个动点，且PF⊥QF，直线AP，AQ分别与椭圆交于点M，N两点，求证：直线MN过一定点，并求出此定点的坐标．

    分析 （1）由题意可得：$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4}$=1，b2=a2-c2，联立解出可得椭圆C的方程．
    （2）由（1）可得：A（-2，0），F（1，0），设P（4，m），Q（4，n），由PF⊥QF，可得mn=-9，直线AP的方程：
    y=$\frac{m}{6}$（x+2），直线AQ的方程：y=$\frac{n}{6}$（x+2）．分别与题意方程联立可得M与N的坐标．对直线MN的斜率分类讨论即可得出．

    解答 解：（1）由题意可得：$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4}$=1，b2=a2-c2，
    联立解得c=1，a=2，b2=3，
    可得椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
    （2）由（1）可得：A（-2，0），F（1，0），设P（4，m），Q（4，n），
    ∵PF⊥QF，∴mn=-9，直线AP的方程：y=$\frac{m}{6}$（x+2），直线AQ的方程：y=$\frac{n}{6}$（x+2）．
    联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{m}{6}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得M$（\frac{54-2{m}^{2}}{27+{m}^{2}}，\frac{18m}{27+{m}^{2}}）$．
    同理可得：N$（\frac{54-2{n}^{2}}{27+{n}^{2}}，\frac{18n}{27+{n}^{2}}）$．
    若直线MN的斜率不存在，则$\frac{18m}{27+{m}^{2}}$+$\frac{18n}{27+{n}^{2}}$=0，与mn=-9＜
    联立解得m=3，n=-3．或m=-3，n=3．
    直线MN的方程为：x=1，此时直线经过定点（1，0）．
    若直线MN的斜率存在，则kMF=$\frac{\frac{18m}{27+{m}^{2}}}{\frac{54-2{m}^{2}}{27+{m}^{2}}-1}$=$\frac{6m}{9-{m}^{2}}$，kNF=$\frac{\frac{18n}{27+{n}^{2}}}{\frac{54-2{n}^{2}}{27+{n}^{2}}-1}$=$\frac{6n}{9-{n}^{2}}$=kNF，
    ∵mn=-9，∴m=-$\frac{9}{n}$，∴kMF=$\frac{6×（-\frac{9}{n}）}{9-（-\frac{9}{n}）^{2}}$=$\frac{6n}{9-{n}^{2}}$=kNF，∴直线MN过一定点F（1，0），
    综上可得：直线MN过一定点F（1，0）．

    点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、直线经过定点问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

    练习册系列答案
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    9．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}（a∈$R），g（x）=lnx，若关于x的方程$\frac{g（x）}{x^2}=f（x）-2e$（e为自然对数的底数）只有一个实数根，则a=${e^2}+\frac{1}{e}$．

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    10．下列命题正确的是（　　）
    A．向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$共线，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$共线
    B．向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$不共线，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$不共线
    C．向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$是共线向量，则A，B，C，D四点一定共线
    D．向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$都是非零向量

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{cos（A+C）}{sinAcosA}$，且$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$．
    （1）求角A；
    （2）若a=2，当sinB+cos（$\frac{7π}{12}-C$）取得最大值时，求B和b．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    14．设$f（x）=m（{x+m}）（{x-2m-1}），g（x）=x-2+ln\frac{x}{2}$，若?x∈R（x）＜0“与“g（x）＜0“中至少有一个成立，则实数m的取值范围是（-2，0）．

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    4．已知A（0，-1，2），B（0，2，-4），C（1，2，-1），则A，B，C三点（　　）
    A．共线B．共面C．不共面D．无法确定

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    11．设函数$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）-2{sin^2}\frac{ω}{2}x+1（ω＞0）$，直线$y=-\sqrt{3}$与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．
    （1）求ω的值．
    （2）求f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

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    8．已知函数f（x）=sin（ωx+Φ）+cos（ωx+Φ）（ω＞0，|Φ|＜$\frac{π}{2}$的最小正周期为π，且对?x∈R，f（x）≤f（0），则（　　）
    A．f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$单调递增B．f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$单调递减
    C．f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$单调递增D．f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$单调递减

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    9．已知函数f（x）=xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）若k∈Z，且对任意x＞1，都有k＜$\frac{f（x）}{x-1}$成立，求k的最大值．

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