Question

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0），一直线2x+y+1=0与椭圆相交于A、B两点，且线段AB中点为M，若k_OM=$\frac{1}{4}$（O为坐标原点），
（1）求此椭圆的离心率；
（2）若椭圆的右焦点关于直线x=1的对称点在圆：x²+y²=9上，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设而不求的思想，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中点坐标，求出M的坐标，k_OM=$\frac{1}{4}$；直线2x+y+1=0与椭圆相交于A、B两点，联立方程组，找到a，b的关系，即可求椭圆的离心率；
（2）设椭圆的右焦点坐标（-c，0），关于直线x=1的对称点为（2-c，0）在圆上，求解c的值，结合（1）的a，b的关系，可求此椭圆的方程．

解答 解：（1）由题意：直线2x+y+1=0与椭圆相交于A、B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）带入椭圆方程化解可得：$-\frac{b^2}{a^2}\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
∵${k_{OM}}=\frac{1}{4}（O为坐标原点）$，
∴$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=4$，
又∵k=-2  所以$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，所以e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）∵椭圆的右焦点（c，0）关于直线x=1为（2-c，0）在圆x²+y²=9上，
则有：（2-c）²=9，
解得：c=5，
由（1）可知：e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$a=5\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=5，
故得椭圆方程为$\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{25}=1$．

点评 本题考查了椭圆的性质的运用，设而不求的思想，斜率的关系以及中点坐标的运用．对称关系的求法．比较综合，计算量大，属于中档题．